想到這里。

    徐云不由深吸一口氣，心中有了決斷。

    雖然葉篤正的情況并不在他的預(yù)料之中，愛德華·諾頓·洛倫茨這人和徐云也沒啥矛盾。

    但這種送上門的好事兒，哪有往外推脫之理？

    于是徐云沉吟片刻，很快對(duì)葉篤正說道：

    “葉主任，不瞞你說，您講的這個(gè)情況，其實(shí)風(fēng)靈月影社團(tuán)內(nèi)也有人思考過?！?/br>
    “對(duì)了，葉主任，不知道你聽沒聽說過印度舍罕王的宰相西薩.班.達(dá)依爾數(shù)麥粒的故事？”

    葉篤正眨了眨眼，很快給出了答案：

    “當(dāng)然聽說過。”

    舍罕王賞麥。

    這算是一個(gè)很有名的數(shù)學(xué)典故。

    上輩子是國際象棋的同學(xué)應(yīng)該都知道。

    傳說國際象棋的發(fā)明者是古印度的宰相西薩·班·達(dá)依爾，那時(shí)的國王是舍罕，世人稱為舍罕王。

    舍罕王對(duì)于國際象棋非常喜愛，便詢問達(dá)依爾需要得到什么賞賜。

    達(dá)依爾則留下了一句傳世經(jīng)典的話：

    【請(qǐng)您在棋盤的第一個(gè)格子上放1粒麥子，第二個(gè)格子上放2粒，第三個(gè)格子上放4粒，第四個(gè)格子放8?！疵恳粋€(gè)次序在后的格子上放的麥粒必須是前一個(gè)格子麥粒數(shù)的倍數(shù)，直到最后一個(gè)格子即第64格放滿為止，這樣我就十分滿足了】。

    舍罕王同意了這個(gè)要求，但最后他才發(fā)現(xiàn)如果按照達(dá)依爾的算法，他得要支付整個(gè)王國往后2000年的麥粒才行……

    隨后徐云頓了頓，對(duì)葉篤正說道：

    “當(dāng)然了，這個(gè)故事的真假我們無從分辨，不過卻從中可以看出一個(gè)道理?！?/br>
    “那就是如果一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的初始條件中有一個(gè)微小誤差δz0，那么在它的演化過程中，這個(gè)偏差在時(shí)間t內(nèi)變化出現(xiàn)一個(gè)演化函數(shù)。”

    說罷。

    徐云有些費(fèi)力的拿起筆，寫下了一個(gè)函數(shù)：

    |δz（t）|－|δz0|eλt。

    接著徐云在λ下方畫了條橫，繼續(xù)說道：

    “這個(gè)λ我稱之為李雅普諾夫指數(shù)，它表征了敏感程度?！保ㄗⅲ豪钛牌罩Z夫是19世紀(jì)的人，但李雅普諾夫指數(shù)要在混沌系統(tǒng)建立后才會(huì)提出）

    “如果它是負(fù)數(shù)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)初始偏差會(huì)在演化過程中被不斷抹平——這代表它對(duì)初始條件不敏感，反之則極其敏感?！?/br>
    “而在一般動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中呢，其演化總是可以被這樣一個(gè)微分方程來描述，也就是d／dtx=f（x）……”

    看著徐云洋洋灑灑寫下的這些內(nèi)容。

    從興趣小組離開后便一直【0v0】的喬彩虹忍不住撓了撓頭發(fā)。

    哎呀。

    頭有點(diǎn)癢，好像要長腦子了……

    其實(shí)吧。

    徐云向葉篤正描述的內(nèi)容，正是后世知名度很廣的反饋系統(tǒng)和指數(shù)發(fā)散。

    這也是為數(shù)不多的混沌系統(tǒng)在概念上的數(shù)學(xué)切入點(diǎn)。

    當(dāng)然了。

    后世還有一些曼德布洛特集和多分形圖案等等，但這些都需要計(jì)算機(jī)進(jìn)行輔助。

    過了片刻。

    看著徐云寫出來的內(nèi)容，葉篤正眼中隱隱閃過了一絲明悟：

    “……我好像有些明白了，韓立同志，大氣系統(tǒng)的基本原理，其實(shí)符合決定論的邏輯？”

    “沒錯(cuò)?！?/br>
    徐云聞言，心中微微一松，用力點(diǎn)了點(diǎn)頭：

    “這個(gè)系統(tǒng)并不是在駁斥決定論，而是因?yàn)闆Q定論的方程出現(xiàn)了難以預(yù)測(cè)的現(xiàn)象，才令這個(gè)系統(tǒng)值得探究?！?/br>
    “它是以決定論為基礎(chǔ)的理論，用決定論推出了難以預(yù)測(cè)的結(jié)果——這是一個(gè)非常重要的概念?！?/br>
    在徐云來的后世。

    有關(guān)混沌系統(tǒng)的概念，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)誤區(qū)。

    一是認(rèn)為混沌系統(tǒng)的存在駁斥了可知論或者決定論，和量子不確定性是一個(gè)概念。

    這其實(shí)是一個(gè)非常離譜的錯(cuò)誤。

    混沌系統(tǒng)指的是一定時(shí)間內(nèi)不可知，并不是不確定，它和和決定論本身是不沖突的。

    同時(shí)混沌理論是純數(shù)學(xué)機(jī)制，而量子不確定性是物理機(jī)制——經(jīng)典動(dòng)力學(xué)中存在混沌現(xiàn)象，純量子力學(xué)中不存在混沌現(xiàn)象。

    更重要的是。

    混沌意味著蝴蝶效應(yīng)和相空間的分形結(jié)構(gòu)，要求是非線性動(dòng)力學(xué)。

    量子力學(xué)中的確定狀態(tài)只能在希爾伯特空間中描述，是一種線性狀態(tài)。

    至于第二個(gè)誤區(qū)嘛……

    就是混沌系統(tǒng)經(jīng)常會(huì)莫名其妙的和‘哲學(xué)’扯上關(guān)系，最終越走越遠(yuǎn)。

    比如說著說著就會(huì)扯上道家的定義，動(dòng)不動(dòng)就是道生一，一生二，二生三，三生萬物。

    然后末尾給你一個(gè)微信，加上去tmd就是推銷檀香的……

    徐云一直擔(dān)心葉篤正會(huì)誤入這兩個(gè)陷阱，這會(huì)導(dǎo)致葉篤正今后出現(xiàn)極其嚴(yán)重的研究壁壘，甚至可能精神上變成李火旺。

    因此他從剛開始的時(shí)候，便在努力給葉篤正灌輸混沌理論是純數(shù)學(xué)機(jī)制這個(gè)概念。

    “韓立同志。”

    就在徐云給葉篤正解釋到差不多之際。

    一旁一直沒說話的錢一……或者說錢秉穹突然開口了：

    “韓立同志，那么照你這樣說，我們的世界其實(shí)很大部分都是非線性的了？”

    “那么如此一來，線性方程和線性規(guī)劃能解決的問題豈非太少？”

    聽到錢秉穹這番話。

    徐云忍不住看了他一眼。

    隨后強(qiáng)行按捺住見到大佬的激動(dòng)，平靜的搖了頭，解釋道：

    “錢……額，錢一同志對(duì)吧，那倒未必?！?/br>
    “至少在我看來，線性系統(tǒng)其實(shí)是對(duì)非線性系統(tǒng)的一種‘最優(yōu)線性近似’。”

    “它保留了非線性系統(tǒng)中那些最重要的定性性質(zhì)，比如穩(wěn)定性或者不穩(wěn)定性，也就是動(dòng)力系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)?！?/br>
    “根據(jù)微分拓?fù)涞睦碚搧矸治?，光滑流形上的那些可以被線性近似的非線性系統(tǒng)是通有的?！?/br>
    說罷。

    徐云再次拿起紙和筆，慢慢寫了起來。

    眾所周知。

    廣義的說。

    “線性系統(tǒng)”指的是其解滿足線性疊加原理的系統(tǒng)，即：

    f（x_1＋x_2＋x_3＋……）=f（x_1）＋f（x_2）＋f（x_3）＋……

    這個(gè)f不能簡(jiǎn)單地理解為只是一個(gè)可以寫成顯式的函數(shù)形式，而應(yīng)該看做一個(gè)映射。

    簡(jiǎn)而言之。

    線性系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的也就是線性映射。

    而在針對(duì)常微分方程動(dòng)力系統(tǒng)的非線性的研究領(lǐng)域里所指的線性系統(tǒng)的形式則往往是這樣的：

    frac{dx}{dt}=acdot x其中x=[x1，x2，x3，……]t。

    而a是一個(gè)常數(shù)矩陣，則這是一個(gè)線性的常微分動(dòng)力系統(tǒng)。

    與之相區(qū)別的非線性系統(tǒng)，則是無法寫成以上形式的方程組所表征的系統(tǒng)。

    比如有些是二階、三階、更高階的系統(tǒng)，或者說形式上矩陣a中的項(xiàng)跟x的各項(xiàng)有關(guān)。

    當(dāng)然了。

    非線性系統(tǒng)也包含偏微分方程中的非線性系統(tǒng)。

    比如可以形成turing pattern的帶有擴(kuò)散項(xiàng)的系統(tǒng)。

    但另一方面。

    微分拓?fù)渲械目破湛ǎ姑窢柖ɡ頇C(jī)制保證了一個(gè)稠密性的情況：

    局部穩(wěn)定流形在工作點(diǎn)局部線性化之后。

    對(duì)應(yīng)的線性系統(tǒng)會(huì)具有穩(wěn)定子空間es和不穩(wěn)定子空間eu，它們分別與對(duì)應(yīng)的流形相切。

    也就是在一定程度上。

    非線性系統(tǒng)可以被近似看做線性系統(tǒng)處理。

    “……”

    過了一會(huì)兒。

    錢秉穹消化掉了徐云的想法，又皺著眉頭說道：

    “但就算如此，韓立同志，也不是所有非線性系統(tǒng)都可以被線性化近似的吧？”

    “或者說需要把非線性系統(tǒng)近似成線性，必須要完成很大的計(jì)算量？”

    “沒錯(cuò)。”