原本的時(shí)空他管不著也沒能力去管，但在這個(gè)時(shí)間點(diǎn)里，徐云不會(huì)讓楊輝三角與帕斯卡共享其名！

    有牛老爺子做擔(dān)保，楊輝三角就是楊輝三角。

    一個(gè)只屬于華夏的名詞！

    隨后徐云心中呼出一口濁氣，繼續(xù)動(dòng)筆在上面畫了幾條線：

    “牛頓先生，您看，這個(gè)三角的兩條斜邊都是由數(shù)字1組成的，而其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)相加。

    從圖形上說(shuō)明的任一數(shù)，r)，都等于它肩上的兩數(shù)－1，r－1)及－1，r)之和?！?/br>
    說(shuō)著徐云在紙上寫下了一個(gè)公式：

    ，r)=－1，r－1)＋－1，r)（n=1，2，3，···n）

    以及……

    （a＋b)^2=a^2＋2ab＋b^2

    (a＋b)^3=a^3＋3a^2b＋3ab^2＋b^3

    (a＋b)^4=a^4＋4a^3b＋6a^2b^2＋6ab^3＋b^4

    (a＋b)^5=a^5＋5a^4b＋10a^3b^2＋10a^2b^3＋5ab^4＋b^5

    在徐云寫到三次方那欄時(shí)，小牛的表情逐漸開始變得嚴(yán)肅。

    而但徐云寫到了六次方時(shí)，小牛已然坐立不住。

    干脆站起身，搶過(guò)徐云的筆，自己寫了起來(lái)：

    (a＋b)^6=a^6＋6a^5b＋15a^4b^2＋20a^3b^3＋15a^2b^4＋6ab^5＋a^6！

    很明顯。

    楊輝三角第n行的數(shù)字有n項(xiàng)，數(shù)字和為2的n－1次冪，(a＋b)的n次方的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)依次對(duì)應(yīng)楊輝三角的第(n＋1)行中的每一項(xiàng)！

    雖然這個(gè)展開式對(duì)于小牛來(lái)說(shuō)毫無(wú)難度，甚至可以算是二項(xiàng)式展開的基礎(chǔ)cao作。

    但是，這還是頭一次有人如此直觀的將開方數(shù)用圖形給表達(dá)出來(lái)！

    更關(guān)鍵的是，楊輝三角第n行的m個(gè)數(shù)可表示為－1，m－1)，即為從n－1個(gè)不同元素中取m－1個(gè)元素的組合數(shù)。

    這對(duì)于小牛正在進(jìn)行的二項(xiàng)式后續(xù)推導(dǎo)，無(wú)疑是個(gè)巨大的助力！

    但是……

    小牛的眉頭又逐漸皺了起來(lái)：

    楊輝三角的出現(xiàn)可以說(shuō)給他打開了一個(gè)新思路，但對(duì)于他現(xiàn)在所卡頓的問(wèn)題，也就是（p＋pq）m/n的展開卻并沒有多大幫助。

    因?yàn)闂钶x三角涉及到的是系數(shù)問(wèn)題，而小牛頭疼的卻是指數(shù)問(wèn)題。

    現(xiàn)在的小牛就像是一位騎行的老司機(jī)。

    拐過(guò)一個(gè)山道時(shí)忽然發(fā)現(xiàn)前方百米過(guò)后一馬平川，景色壯美，但面前十多米處卻有一個(gè)巨大的落石堆擋路。

    而就在小牛糾結(jié)之時(shí)，徐云又緩緩說(shuō)了一句話：

    “對(duì)了，牛頓先生，韓立爵士對(duì)于楊輝三角也有所研究。

    后來(lái)他發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式的指數(shù)似乎并不一定需要是整數(shù)，分?jǐn)?shù)甚至負(fù)數(shù)似乎也是可行的?！?/br>
    “負(fù)數(shù)的論證方法他沒有說(shuō)明，但卻留下了分?jǐn)?shù)的論證方法?！?/br>
    “他將其稱為……”

    “韓立展開！”

    ……

    第25章 韓·數(shù)學(xué)鬼才·立

    屋子里，徐云正在侃侃而談：

    “牛頓先生，韓立爵士計(jì)算發(fā)現(xiàn)，二項(xiàng)式定理中指數(shù)為分?jǐn)?shù)時(shí)，可以用e^x=1＋x＋x^2/2！＋x^3/3?。玿^n/n?。瓉?lái)計(jì)算?！?/br>
    說(shuō)著徐云拿起筆，在紙上寫下了一行字：

    當(dāng)n=0時(shí)，e^x＞1。

    “牛頓先生，這里是從x^0開始的，用0作為起點(diǎn)討論比較方便，您可以理解吧？”

    小牛點(diǎn)了點(diǎn)頭，示意自己明白。

    隨后徐云繼續(xù)寫道：

    假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即e^x＞1＋x/1?。玿^2/2?。玿^3/3?。玿^k/k?。▁＞0）

    則e^x－[1＋x/1?。玿^2/2?。玿^3/3?。玿^k/k！]＞0

    那么當(dāng)n=k＋1時(shí)，令函數(shù)f(k＋1)=e^x－[1＋x/1?。玿^2/2?。玿^3/3?。玿^(k＋1)/(k＋1)]！（x＞0）

    接著徐云在f(k＋1)上畫了個(gè)圈，問(wèn)道：

    “牛頓先生，您對(duì)導(dǎo)數(shù)有了解么？”

    小牛繼續(xù)點(diǎn)了點(diǎn)頭，言簡(jiǎn)意賅的蹦出兩個(gè)字：

    “了解?！?/br>
    學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)的朋友應(yīng)該都知道。

    導(dǎo)數(shù)和積分是微積分最重要的組成部分，而導(dǎo)數(shù)又是微分積分的基礎(chǔ)。

    眼下已經(jīng)時(shí)值1665年末，小牛對(duì)于導(dǎo)數(shù)的認(rèn)知其實(shí)已經(jīng)到了一個(gè)比較深?yuàn)W的地步了。

    在求導(dǎo)方面，小牛的介入點(diǎn)是瞬時(shí)速度。

    速度=路程/時(shí)間，這是小學(xué)生都知道的公式，但瞬時(shí)速度怎么辦？

    比如說(shuō)知道路程s=t^2，那么t=2的時(shí)候，瞬時(shí)速度v是多少呢？

    數(shù)學(xué)家的思維，就是將沒學(xué)過(guò)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成學(xué)過(guò)的問(wèn)題。

    于是牛頓想了一個(gè)很聰明的辦法：

    取一個(gè)”很短”的時(shí)間段△t，先算算t=2到t=2＋△t這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，平均速度是多少。

    v=s/t=（4△t＋△t^2）/△t=4＋△t。

    當(dāng)△t越來(lái)越小，2＋△t就越來(lái)越接近2，時(shí)間段就越來(lái)越窄。

    △t越來(lái)越接近0時(shí)，那么平均速度就越來(lái)越接近瞬時(shí)速度。

    如果△t小到了0，平均速度4＋△t就變成了瞬時(shí)速度4。

    當(dāng)然了。

    后來(lái)貝克萊發(fā)現(xiàn)了這個(gè)方法的一些邏輯問(wèn)題，也就是△t到底是不是0。

    如果是0，那么計(jì)算速度的時(shí)候怎么能用△t做分母呢？鮮為人……咳咳，小學(xué)生也知道0不能做除數(shù)。

    到如果不是0，4＋△t就永遠(yuǎn)變不成4，平均速度永遠(yuǎn)變不成瞬時(shí)速度。

    按照現(xiàn)代微積分的觀念，貝克萊是在質(zhì)疑lim△t→0是否等價(jià)于△t=0。

    這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)實(shí)際上是在對(duì)初生微積分的一種拷問(wèn)，用“無(wú)限細(xì)分”這種運(yùn)動(dòng)、模糊的詞語(yǔ)來(lái)定義精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)，真的合適嗎？

    貝克萊由此引發(fā)的一系列討論，便是赫赫有名的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

    甚至有些悲觀黨宣稱數(shù)理大廈要坍塌了，我們的世界都是虛假的——然后這些貨真的就跳樓了，在奧地利還留有他們的遺像，某個(gè)撲街釣魚佬曾經(jīng)有幸參觀過(guò)一次，跟七個(gè)小矮人似的，也不知道是用來(lái)被人瞻仰還是鞭尸的。

    這件事一直到要柯西和魏爾斯特拉斯兩人的出現(xiàn)，才會(huì)徹底有了解釋與定論，并且真正定義了后世很多同學(xué)掛的那棵樹。

    但那是后來(lái)的事情，在小牛的這個(gè)年代，新生數(shù)學(xué)的實(shí)用性是放在首位的，因此嚴(yán)格化就相對(duì)被忽略了。

    這個(gè)時(shí)代的很多人都是一邊利用數(shù)學(xué)工具做研究，一邊用得出來(lái)的結(jié)果對(duì)工具進(jìn)行改良優(yōu)化。

    偶爾還會(huì)出現(xiàn)一些倒霉蛋算著算著，忽然發(fā)現(xiàn)自己這輩子的研究其實(shí)錯(cuò)了的情況。

    總而言之。

    在如今這個(gè)時(shí)間點(diǎn)，小牛對(duì)于求導(dǎo)還是比較熟悉的，只不過(guò)還沒有歸納出系統(tǒng)的理論而已。

    徐云見狀又寫到：

    對(duì)f(k＋1)求導(dǎo)，可得f(k＋1)'=e^x－1＋x/1?。玿^2/2！＋x^3/3?。玿^k/k！

    由假設(shè)知f(k＋1)'＞0

    那么當(dāng)x=0時(shí)。

    f(k＋1)=e^0－1－0/1?。?/2?。?－0/k＋1！=1－1=0

    所以當(dāng)x＞0時(shí)。

    因?yàn)閷?dǎo)數(shù)大于0，所以f(x)＞f(0)=0

    所以當(dāng)n=k＋1時(shí)f(k＋1)=e^x－[1＋x/1?。玿^2/2?。玿^3/3?。玿^(k＋1)/(k＋1)]！（x＞0）成立！

    最后徐云寫到：

    綜上所屬，對(duì)任意的n有：

    e^x＞1＋x/1?。玿^2/2?。玿^3/3！＋……＋x^n/n?。▁＞0）

    論述完畢，徐云放下鋼筆，看向小牛。

    只見此時(shí)此刻。

    這位后世物理學(xué)的祖師爺正瞪大著那一雙牛眼，死死地盯著面前的這張草稿紙。

    誠(chéng)然。

    以目前小牛的研究進(jìn)度，還不太好理解切線與面積的真正內(nèi)在含義。

    但了解數(shù)學(xué)的人都知道，廣義二項(xiàng)式定理其實(shí)就是復(fù)變函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)的特殊情形。

    這個(gè)級(jí)數(shù)與二項(xiàng)式定理是兼容的，系數(shù)符號(hào)也是與組合符號(hào)兼容的。

    所以二項(xiàng)式定理可以由自然數(shù)冪擴(kuò)充至復(fù)數(shù)冪，組合定義也可以由自然數(shù)擴(kuò)充至復(fù)數(shù)。