眾所周知。

    正弦值sinθ等于對(duì)邊c除以斜邊a，正切值tanθ等于對(duì)邊c除以鄰邊b。

    徐云又畫了個(gè)夾角很小的直角三角形，角度估摸著只有幾度：

    “但是一旦角度θ非常非常小，那么鄰邊b和斜邊a就快要重合了?！?/br>
    “這時(shí)候我們是可以近似的認(rèn)為a和b是相等的，也就是a≈b?！?/br>
    隨后在紙上寫到：

    【于是就有c/b≈c/a，即tanθ≈sinθ?！?/br>
    【之前的公式可寫成f=t·tan（θ＋Δθ）－t·tanθ=μ·Δxaa^2f/at^2。】

    “稍等一下。”

    看到這句話，法拉第忽然皺起了眉頭，打斷了徐云。

    很明顯。

    此時(shí)他已經(jīng)隱隱出現(xiàn)了掉隊(duì)的跡象：

    “羅峰同學(xué)，用tanθ替代sinθ的意義是什么？”

    徐云又看了小麥，小麥當(dāng)即心領(lǐng)神會(huì)：

    “法拉第先生，因?yàn)檎兄祎anθ還可以代表一條直線的斜率呀，也就是代表曲線在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)?！?/br>
    “正切值的表達(dá)式是tanθ=c/b，如果建一個(gè)坐標(biāo)系，那么這個(gè)c剛好就是直線在y軸的投影dy，b就是在x軸的投影dx。”

    “它們的比值剛好就是導(dǎo)數(shù)dy/dx，也就是說tanθ=dy/dx?！?/br>
    法拉第認(rèn)真聽完，花了兩分鐘在紙上演算了一番，旋即恍然的一拍額頭：

    “原來如此，我明白了，請(qǐng)繼續(xù)吧，羅峰同學(xué)。”

    徐云點(diǎn)點(diǎn)頭，繼續(xù)解釋道：

    “因?yàn)椴ǖ暮瘮?shù)f(x，t)是關(guān)于x和t的二元函數(shù)，所以我們只能求某一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)?！?/br>
    “那么正切值就等于它在這個(gè)點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)tanθ=af/ax，原來的波動(dòng)方程就可以寫成這樣……”

    隨后徐云在紙上寫下了一個(gè)新方程：

    t（af/axlx＋△x－af/axlx）=μ·Δxaa^2f/at^2。

    看起來比之前的要復(fù)雜一些，但現(xiàn)場的這些大佬的目光，卻齊齊明亮了不少。

    到了這一步，接下來的思路就很清晰了。

    只要再對(duì)方程的兩邊同時(shí)除以Δx，那左邊就變成了函數(shù)af/ax在x＋Δx和x這兩處的值的差除以Δx。

    這其實(shí)就是af/ax這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。

    也就是說。

    兩邊同時(shí)除以一個(gè)Δx之后，左邊就變成了偏導(dǎo)數(shù)af/ax對(duì)x再求一次導(dǎo)數(shù)，那就是f(x，t)對(duì)x求二階偏導(dǎo)數(shù)了。

    同時(shí)上面已經(jīng)用a^2f/at^2來表示函數(shù)對(duì)t的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么這里自然就可以用a^2f/ax^2來表示函數(shù)對(duì)x的二階偏導(dǎo)數(shù)。

    然后兩邊再同時(shí)除以t，得到方程就簡潔多了：

    a^2f/ax=μa^2f/tax^2。

    同時(shí)如果你腦子還沒暈的話便會(huì)發(fā)現(xiàn)……

    μ/t的單位……

    剛好就是速度平方的倒數(shù)！

    也就是說如果我們把一個(gè)量定義成t/μ的平方根，那么這個(gè)量的單位剛好就是速度的單位。

    可以想象，這個(gè)速度自然就是這個(gè)波的傳播速度v：

    v^2=t/μ。

    因此將這個(gè)值代入之后，一個(gè)最終的公式便出現(xiàn)了：

    a^2f/ax=a^2f/v^2ax^2。

    這個(gè)公式在后世又叫做……

    經(jīng)典波動(dòng)方程。

    當(dāng)然了。

    這個(gè)方程沒有沒有考慮量子效應(yīng)。

    如果要考慮量子效應(yīng)，這個(gè)經(jīng)典的波動(dòng)方程就沒用了，就必須轉(zhuǎn)而使用量子的波動(dòng)方程，那就是大名鼎鼎的薛定諤方程。

    薛定諤就是從這個(gè)經(jīng)典波動(dòng)方程出發(fā)，結(jié)合德布羅意的物質(zhì)波概念，硬猜出了薛定諤方程。

    沒錯(cuò)，靠猜的。

    具體內(nèi)容就先不贅述了，總之這個(gè)方程讓物理學(xué)家們從被海森堡的矩陣支配的恐懼中解脫了出來，重新回到了微分方程的美好世界。

    如今徐云不需要考慮量子方面的事兒，因此有經(jīng)典波動(dòng)方程就足夠了。

    接著他又在紙上寫下了一道新的公式。

    而隨著這道新公式的寫出，法拉第赫然發(fā)現(xiàn)……

    自己剩下的那一片硝酸甘油，好像不太夠用了。

    第258章 見證奇跡吧！（中）

    從公元前活到現(xiàn)在的同學(xué)應(yīng)該都知道。

    很早以前，人們就發(fā)現(xiàn)了電荷之間和磁體之間都有作用力。

    但是最初，人們并未把這兩種作用聯(lián)系起來。

    直到人們發(fā)現(xiàn)有些被閃電劈中的石頭會(huì)具有磁性，于是猜測出電與磁之間可能存在某種關(guān)系。

    再往后的故事就很簡單了。

    奧斯特發(fā)現(xiàn)電可以產(chǎn)生磁，法拉第發(fā)現(xiàn)了磁可以產(chǎn)生電。

    人們終于認(rèn)識(shí)到電與磁的關(guān)系密不可分，開始利用磁鐵制造發(fā)電機(jī)，也利用電流制造電磁鐵。

    不過此前提及過。

    法拉第雖然發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象，并且用磁鐵屑表示出了磁感線。

    但最終歸納出電磁感應(yīng)定律的，則是今天同樣出現(xiàn)在教室里的紐曼和韋伯。

    只是他們?yōu)榱思o(jì)念法拉第的貢獻(xiàn)，所以才將這個(gè)公式命名為法拉第電磁感應(yīng)定律。

    紐曼和韋伯的推導(dǎo)過程涉及到了的紐曼矢量勢an和韋伯矢量式aw，比較復(fù)雜，這里就不詳細(xì)深入解釋了。

    總而言之。

    法拉第電磁感應(yīng)定律的終式如下：

    1.e＝nΔΦ/t

    (1)磁通量的變化是由面積變化引起時(shí)，ΔΦ＝bΔs，則e＝nbΔs/t；

    (2)磁通量的變化是由磁場變化引起時(shí)，ΔΦ＝Δbs，則e＝nΔbs/t；

    (3)磁通量的變化是由于面積和磁場變化共同引起的，則根據(jù)定義求，ΔΦ＝|Φ末－Φ初|。

    2.導(dǎo)體棒切割磁感線時(shí)：e＝blv

    3.導(dǎo)體棒繞一端轉(zhuǎn)動(dòng)切割磁感線時(shí)：e＝bl2w

    4.導(dǎo)線框繞與b垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)：e＝nbsw。

    看到這些公式，是不是回憶起了被高中物理支配的恐懼？

    咳咳……

    而徐云正是在這個(gè)基礎(chǔ)上，寫下了另一個(gè)令法拉第頭皮發(fā)麻的公式：

    ▽x（▽xe）=▽（▽·e）－（▽·▽）e=▽（▽·e）－▽^2e

    ▽^2t=a^2t/ax^2＋a^2t/ay^2＋a^2t/az^2。

    沒錯(cuò)。

    聰明的同學(xué)想必已經(jīng)看出來了。

    第一個(gè)小公式是矢量的三重積公式推電場e的旋度的旋度，第二個(gè)則是電場的拉普拉斯。

    其中旋度這個(gè)名稱……也就是curl，是由小麥在1871年提出的詞匯。

    但相關(guān)概念早在1839在光學(xué)場理論的構(gòu)建就出現(xiàn)過了，只是還沒正式被總結(jié)而已。

    其實(shí)吧。

    以法拉第的數(shù)學(xué)積累，這個(gè)公式他多半是沒法瞬間理解的，需要更為深入的解析計(jì)算。

    奈何考慮到一些鮮為人同學(xué)掛科掛的都快哭了，這里就假定法拉第被高斯附身了吧……

    隨后看著徐云寫出來的這個(gè)公式，在場眾人中真實(shí)數(shù)學(xué)水平最高的韋伯再次意識(shí)到了什么。

    只見他皺著眉頭注視了這個(gè)公式小半分鐘，忽然眼前一亮。

    左手?jǐn)偲剑沂治杖?，在掌心上重重一敲?/br>
    “這是……電場散度的梯度減去電場的拉普拉斯可以得到的值？”

    徐云朝他豎起了一根大拇指，難怪后世有人說韋伯如果不進(jìn)入電磁學(xué)，或許數(shù)學(xué)史上便會(huì)出現(xiàn)一尊巨匠。

    這種思維靈敏度，哪怕在后世都不多見。

    在上面那個(gè)公式中。

    ▽（▽·e）表示電場e的散度的梯度，e（▽·▽）則可以換成（▽·▽）e，同時(shí)還可以寫成▽^2e——這就引出了后面的拉普拉斯算子。

    只要假設(shè)空間上一點(diǎn)（x，y，z）的溫度由t（x，y，z）來表示，那么這個(gè)溫度函數(shù)t（x，y，z）就是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，便可以對(duì)它取梯度▽t。